Правильно будет Есаулов лес. Саулов это уже сокращённое название места, появилось в советское время. Рядом с Летним театром (парк 1 Мая) до революции находился Казачий двор, там была расквартирована сотня Астраханских казаков. А сюда, в лес к Клязьме казаки приезжали купать коней, родник этот был обустроен казачьим есаулом.